TEMA VII
INTERSECCIONES
Todos los elementos que hemos estudiado, (rectas, planos, sólidos), pueden interrelacionarse entre sí en el espacio.
Una de estas relaciones es la intersección, es decir, el cruce o corte de unos con otros.
Esto es lo que vamos a estudiar a continuación:
INTERSECCIÓN DE RECTAS
Dos rectas se cortan cuando tienen un punto en común. Por tanto las proyecciones vertical y horizontal de este punto se han de hallar también en las proyecciones respectivas de ambas rectas.
RECTAS QUE SE CORTAN
Las rectas en el espacio, como hemos dicho, pueden cortarse entre sí. Cuando esto ocurre, determinan un punto de intersección: (X), que arrojará sus dos proyecciones: (X1) y (X2) sobre los coordenados. (VER)
IMPORTANTE: Fíjate bien, para que el punto (X) sea realmente un punto de intersección entre ambas rectas, sus proyecciones (X1) y (X2), deben estar en las cuatro proyecciones de las rectas a la vez (r1,r2,s1,s2).
RECTAS QUE SE CORTAN 3D (El punto de intersección aquí le llamaremos A)
Si esto no ocurre así, nos encontraremos con las llamadas rectas que se cruzan.
RECTAS QUE SE CRUZAN
Dos rectas se cruzan cuando no tienen un punto en común. Tanto en el espacio como en su representación diédrica, parecen engañarnos. (VER)
Pero la clave radica, cómo ves, en que las proyecciones del falso punto intersección (X), no pueden estar en las 4 proyecciones de las rectas sino solamente en 3, si el punto pertenece a una de estas rectas, o en 2 si no pertenece a ninguna.
Obsérvalo en 3D. (Para un falso punto A)
INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS
Dos planos en el espacio, si no son paralelos, deberán cortarse tarde o temprano.
En su cruce, producen la llamada recta intersección (i), que no es ni más ni menos que una recta de las ya conocidas, con sus trazas (H y V) y sus proyecciones vertical y horizontal (i1 y i2). LO VEREMOS, pulsando PLAY sucesivo.
OBSERVA: Dos puntos clave de esta recta, como son sus trazas (H y V), se encuentran dentro de las trazas de ambos planos, más concretamente en sus intersecciones, lo que nos indica sin lugar a dudas que la recta (i) pertenece a ellos.
Las proyecciones de (i) se trazarán de la siguiente forma:
-(i1): Irá de H1 a V1
-(i2): Irá de H2 a V2
Veamos 2 planos cortándose en 3D. (Se suprimen letras para clarificar)
INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO
Cuando un plano y una recta se cortan, producen un punto. Este punto ha de pertenecer a ambos elementos.
Para que pertenezca a la recta, ya sabemos donde han de estar sus proyecciones, pero para demostrar que pertenece al plano lo tendremos un poco más complicado:
RECORDAMOS: (TEMA VI)
Si el plano es de algún tipo de los ya estudiados, perpendicular a uno o a los dos coordenados, bastará con que la proyección correspondiente del punto,(X1 o X2), esté contenida en la traza correspondiente de este plano.(VER)
Si no es así, necesitaremos el apoyo de una recta cualquiera que contenga al punto y a su vez pueda estar contenida en dicho plano.(VER)
Repasadas estas bases fundamentales, veamos cómo se opera mediante la correspondiente ANIMACIÓN:
Observa los sucesivos pasos. (Pulsando play)
-La recta (r),"de punta" y el plano (a)"oblicuo", se cortan, es obvio, pero hay que determinar ese punto de intersección.
1º-contendremos la recta (r) en un nuevo plano (b), en este caso "de canto". Es aconsejable utilizar planos perpendiculares, que como ya vimos, facilitan el trazado de sus elementos contenidos.
2º-Hallaremos de la forma estudiada la intersección de los 2 planos: obteniendo la recta (s).
3º-Buscaremos ahora la intersección de las rectas (r) y (s), que nos dará el punto (X). En este caso mediante las proyecciones horizontales: (r1) y (s1), determinamos (X1).
4º-Por último sólo nos queda trasladar (X2) a las proyecciones verticales de las rectas: (r2) y (s2). Recuerda que ha de estar en las 2 a la vez.(Aunque en este caso (r2) sea un punto)
Sigamos de nuevo los pasos en otro trazado DIÉDRICO.
Veamos otra intersección recta-plano en 3D. El plano verde es el auxiliar que contiene a la recta, para determinar el punto intersección. (Se ha suprimido la recta (s) y sus proyecciones, con el fin de simplificar)
INTERSECCIÓN DE SÓLIDOS
Un sólido, lógicamente, también puede ínter seccionarse con otro en el espacio, produciendo superficies más o menos complejas, dependiendo de las características de ambos.
Este tema por sí solo nos llevaría un extenso capítulo que quedará para cursos más avanzados.
Válganos como ejemplo una mirada a dos POLIEDROS CORTÁNDOSE en 3D
CONCLUSIÓN
Podríamos seguir viendo ejemplos, pero eso quedará para otros cursos . Aún falta mucho por ver y aprender.
La finalidad de éste curso era la de conocer los fundamentos más básicos del sistema, que por otro lado, como ya dijimos, son los que más cuesta comprender por su alto componente de abstracción espacial.
Confiamos en haberlo conseguido y por supuesto, que te hayas divertido.
Para saber más avanza página o si te atreves, realiza la siguiente:
